证明:理想升链的并集依然是理想 近世代数

lz想要表达的是什么意思？理想就是环的某个含有特殊性质的子集。这个性质就是定义中所谓的任意子集中的元素与环的元素的乘法运算还是属于子集。有点吸收的意思。其他么，整数环是一个主理想整环（PID）。还有就是一个元素可以人工的构造出由它生成的理想。此外还有商集啊一些定义。lz补充下问题吧。

令f是R到R/I的自然环同态，则kerf=I，根据环同态基本定理，所以R的包含I的理想和R/I的理想一一对应。
1）充分性：因为I是R的最大理想，所以R包含I的理想只有R和I本身，从而商环R/I的理想只有I和R/I本身，换句话说，R/I只有平凡理想。因为R是有单位元的交换环，所以R/I也是有单位元的交换环，根据下面的引理，R/I是域
引理：R是有单位元的交换环，R只有平凡理想，则R是域。
因为设I是非零元a生成的理想,I=(a),则(a)≠0，所以(a)=R,从而Ra=R,特别有ra=1,所以a有逆元r
即R中每个非零元都可逆，故R是域
2）必要性：反过来，域R/I只有平凡理想，根据同态基本定理，真包含I的R的理想只有R本身，这说明I是R的最大理想。
证毕！

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用定义即证。设I1,I2,……,In,……是环R的一个理想升链。I=∪Ii(i=1到∞），任给r∈R，x,y∈I,则
x∈Im,y∈In,不妨设m<=n则Im含于In,所以x,y∈In,故x-y,rx,xr都∈In,显然也属于I，这就证明了I是R的理想。证毕。