如何验证序列的周期性

显然，初始值取0时，迭代过程永远不会返回0。其余所有非零初值对应的序列均具有相同周期，经分析可知该周期为45。这是因为递推关系可表示为 $ x_n = x_0 + (96m - 39n) $，其中系数的最大公约数为 $ \gcd(96, 39) = 3 $，结合状态空间大小（共135个可能取值），由抽屉原理可得最大可能周期为 $ 135 \div 3 = 45 $；实际验证确认该上界可达。分别以1、2、3、4为初值进行迭代，发现各序列彼此平移对应，尤其值得注意的是：以1为初值与以4为初值生成的序列完全一致，表明初值相差3时序列重合，即初值 $ x $ 与 $ x+3 $ 对应同一周期轨道。