椭圆坐标系变换绘图

问题如下：
观察方程 $ x^2 + y^2 - xy = 1 $，通过适当变量替换可将其化为标准椭圆形式。随后，仅需对坐标系实施特定角度的旋转变换，即可将该椭圆准确还原至 $ xy $ 平面。这一过程本质上是将椭圆在新坐标轴下的表达，经旋转与尺度调整后，重新映射到原始坐标系中。
如何将椭圆方程 $2m^2 + 14n^2 = 1$ 通过坐标变换映射回 $xy$ 平面，使其与原式 $2x^2 + y^2 - xy = 1$ 对应？该二次型隐含一个非正交的坐标系旋转与缩放关系。由于交叉项 $-xy$ 的存在，其对应的二次型矩阵不对角，需通过合同变换将其标准化。可先写出该二次型的矩阵形式，再求其特征值与特征向量，从而确定主轴方向（即 $m$、$n$ 轴在 $xy$ 平面上的实际取向），并依据特征值的倒数平方根确定各方向上的伸缩比例。这样，不仅可明确 $m$、$n$ 轴的方向角，还能得出单位长度在 $x$、$y$ 轴上的投影关系，最终实现椭圆在原始坐标系下的几何还原。
我是高中生，所学知识有限，为拓展视野而研究此题，解法不限，恳请各位前辈不吝赐教。